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圓錐曲線來了,你還好嗎?

圓錐曲線來了,你還好嗎?

现阶段大家都开始學习圓錐曲線,高考难题排名第二位,你们还好吗?大部分同學反应是很难,无从下手,计算能力跟不上,算错一次没有勇气从头再来。可在老师的眼里圓錐曲線满满的都是套路,是伪装 得最好的“难题”。

做好圓錐曲線的题,主要从以下四个方面入手:

一.牢記核心知識

好多同學在做圓錐曲線题时,特别是小题,比如椭圆,双曲线离心率公式和范围记不清,焦点分别在軸,轴上的双曲线的渐近线方程傻傻分不清,在做题时自然做不对。所以核心知识必须记清楚,记准确。建议在这章學习时多画图,把基 础性质知识点尽可能的标注在图上,这样记忆更加方便,深刻,也可以通过作图来检验自己是否记住。

二.計算能力與速度

这一章计算能力强的同學學习起来相对轻松一些,但是计算能力是可以通过多做题来提升的。后期可以尝试训练自己口算得到聯立后的二次方程,然后得到判别式,两根之和,两根之积的整式。

三.思維套路

拿到圓錐曲線的题,很多同學说无从下手,从表面感觉很难。老师建议:山重水复疑无路,没事你就算两步。大部分的圓錐曲線大题,都有共同的三部曲:一设二聯立三韦达定理。一设:设直线與圓錐曲線 的两个交点,坐标分别为,直線方程爲。二聯立:通過快速計算或者口算得到聯立的二次方程。三韋達定理:得到二次方程後立馬得出判別式,兩根之和,兩根之積。

走完三部曲之后,在看题目给出了什么条件,要求什么。例如涉及弦长问题,常用“根與系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的 斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.总结起来:找值列等量关系,找范围列不等关系,通常结合判别式,基本不等式求解。

四:題型總結

圓錐曲線中常见题型总结:

1.直线與圓錐曲線位置关系

這類問題主要采用分析判別式,有

直线與圓錐曲線相交;

直线與圓錐曲線相切;

直线與圓錐曲線相离.

,則直 线與圓錐曲線相交,且有一个交点.

注意:設直線方程時一定要考慮斜率不存在的情況,可單獨提前討論。

2.圓錐曲線與向量结合问题

這類問題主要利用向量的相等,平行,垂直去尋找坐標間的數量關系,往往要和根與系數的關系結合應用,體現數形結合的思想,達到簡化計算的目的。

3.圓錐曲線弦长问题

弦長問題主要記住弦長公式:設直線與圓錐曲線相交于點,則

4.定點,定值問題

(1)定點問題可先運用特殊值或者對稱探索出該定點,再證明結論,即可簡化運算;

(2)直接推理、計算,並在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值.

5.最值,參數範圍問題

這類常見的解法有兩種:幾何法和代數法.

(1)若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義,則考慮利用圖形性質來解決,這就是幾何法;

(2)若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系,則可首先建立起目標函數,再求這個函數的最值,這就是代數法.

在利用代數法解決最值與範圍問題時常從以下五個方面考慮:

(1)利用判別式來構造不等關系,從而確定參數的取值範圍;

(2)利用已知參數的範圍,求新參數的範圍,解這類問題的核心是在兩個參數之間建立等量關系;

(3)利用隱含或已知的不等關系建立不等式,從而求出參數的取值範圍;

(4)利用基本不等式求出參數的取值範圍;

(5)利用函數的值域的求法,確定參數的取值範圍.

6.軌迹問題

軌迹問題一般方法有三種:定義法,相關點法和參數法。

定義法:(1)判斷動點的運動軌迹是否滿足某種曲線的定義;

(2)設標准方程,求方程中的基本量

(3)求軌迹方程

相關點法:(1)分析題目:與動點相關的點在已知曲線上;

(2)尋求關系式

(3)將代入已知曲線方程;

(4)整理關于的關系式得到的軌迹方程。

參數法求軌迹的一般步驟:

(1)選取參數,用表示動點的坐標;

(2)得動點的軌迹的參數方程

(3)消去參數的軌迹方程;

(4)由的範圍確定的範圍,確保答案的准確性和完備性。

7.探索型,存在性問題

這類問題通常先假設存在,然後進行計算,最後再證明結果滿足條件得到結論。對于較難的題目,可從特殊情況入手,找到特殊點進行分析驗算,然後再得到一般性結論。

最后,通过一道四川高考题圓錐曲線定点问题向大家展示做圓錐曲線大题解题思路:

【2015高考四川,理20】如圖,橢圓圓錐曲線的離心率是圓錐曲線,過點的動直線圓錐曲線與橢圓相交于兩點,當直線圓錐曲線平行與圓錐曲線軸時,直線圓錐曲線被橢圓截得的線段長爲圓錐曲線.

(1)求橢圓圓錐曲線的方程;

(2)在平面直角坐標系圓錐曲線中,是否存在與點不同的定點,使得圓錐曲線恒成立?若存在,求出點的坐標;若不存在, 请说明理由.

圓錐曲線

【答案】(1)圓錐曲線;(2)存在,Q點的坐標爲圓錐曲線.

【解析】(1)由已知,點圓錐曲線在橢圓上.

因此,圓錐曲線

解得圓錐曲線.

所以橢圓的方程爲圓錐曲線.

(2)當直線圓錐曲線圓錐曲線軸平行時,設直線圓錐曲線與橢圓相交于C、D两点.

如果存在定點Q滿足條件,則圓錐曲線,即圓錐曲線.

所以Q點在y軸上,可設Q點的坐標爲圓錐曲線.

當直線圓錐曲線圓錐曲線軸垂直時,設直線圓錐曲線與橢圓相交于M、N两点.

圓錐曲線

圓錐曲線,有圓錐曲線,解得圓錐曲線圓錐曲線.

所以,若存在不同于点P的定点Q满足条件,則Q点的坐标只可能为圓錐曲線.

下面證明:對任意的直線圓錐曲線,均有圓錐曲線.

當直線圓錐曲線的斜率不存在時,由上可知,結論成立.

當直線圓錐曲線的斜率存在時,可設直線圓錐曲線的方程爲圓錐曲線,A、B的坐标分别 为圓錐曲線.

聯立圓錐曲線圓錐曲線.

其判別式圓錐曲線

所以,圓錐曲線.

因此圓錐曲線.

易知,點B關于y軸對稱的點的坐標爲圓錐曲線.

圓錐曲線

思路清晰,计算准确,相信大家圓錐曲線大题都不在话下!

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